[Mathematics] 3. 벡터의 외적

이전글에서 오일러각을 이용해 플레이어 카메라의 방향벡터를 구할 수 있었고, 그 벡터의 x, z 성분이 플레이어의 평면 상에서의 방향벡터라는 것도 알 수 있었다.

이때 플레이어의 평면 상의 방향벡터가 forward 벡터가 된다.

FPS에서 W나 S를 누르면 바라보는 방향으로 이동하는데,
즉 플레이어의 속도= forward 방향*스칼라*캐릭터 이동속도 가 된다.
(여기서 스칼라 값은 W를 눌렀는지 S를 눌렀는지에 따라 결정되며 보통 W를 1, S를 -1로 둔다. 조이스틱에선 조이스틱을 기울인 정도까지 고려해 -1~1 사이의 값을 줄 수 있다.)
마찬가지로 A나 D를 누르면 속도 = right방향*스칼라*캐릭터 이동속도 가 된다.
(이 경우엔 D가 1, A가 -1)

종합하면 플레이어의 xz평면 상에서의 wasd 이동은
V = forward * 스칼라A * 이속 + right * 스칼라B * 이속
으로 정의할 수 있다.

이때 right 벡터를 어떻게 구하는가?

forward 벡터와 right 벡터가 90도를 이룬다는 것을 이용해, forward 벡터와 up벡터 (0,1,0)을 외적하면 right 벡터를 구할 수 있다.

a x b는 a와 b 벡터 모두와 수직이며, 길이가 |a||b|sin c이다. 여기서 주의해야 할 점은 a x b일때와 b x a 일때 벡터의 방향이 다르다는 점이며, 때문에 forward x up을 하면 right가 나오지먼 up x forward를 하면 left 가 나온다.
(c는 a와 b가 이루는 각)

외적은 내적과 반대로 sin을 곱하기 때문에 각이 90도일 때 크기가 가장 크고 0도일때 크기가 가장 작다. (0이다)

The cross product - Math Insight

v = (vx, vy, vz)
w = (wx, wy, wz)

v X w
= (vy * wz - vz * wy, vz * wx - vx * wz, vx * wy - vy * wx)

|v X w|
= |v| |w| sin 세타


참고1)

|v X w| = |v| |w| sin 세타 식으로는 외적의 크기만을 알아낼 수 있다. 외적해서 나온 벡터를 얻고 싶다면 외적 공식을 사용할 것.
내적의 경우 axbx + ayby, 그리고 |a||b|cos세타 모두 스칼라를 반환하지만,
외적의 경우 벡터를 반환하는 식과 스칼라를 반환하는 식이 있음에 주의.


참고2)
2차원 벡터의 경우 외적은 별도로 분리해 살펴볼 만 하다. 위 공식에 z=0을 대입하면 2차원 외적의 공식을 얻을 수 있다.

v x w = (vx * wy) - (vy * wx)

잘 살펴보면 이 공식은 사실
[[vx wx] [vy wy]]행렬의 determinent 혹은 판별식임을 알 수 있다. (ad-bc)

2차원 벡터 두 개의 외적의 기하학적 성질이 중요한데, 3차원 벡터 두 개의 외적이 두 벡터와 수직을 이루는 벡터를 구하는 행위였다면, 2차원 벡터 두개의 외적은 두 벡터가 이루는 사각형의 면적을 나타낸다. (즉 결과값이 벡터가 아닌 스칼라라고 이해하면 된다)

이때 면적은 음수가 될 수도 있는데, 이는 벡터 v에 대해 벡터 w가 시계방향으로 회전한 곳에 위치하고 있을 경우이다.

이러한 성질을 이용해 어떤 백터가 다른 벡터와 비교했을 때 시계 방향으로 회전한 곳에 위치하는지 반시계 방향으로 회전한 곳에 위치하는 지를 구할 수 있다. 외적한 값이 양수인지 음수인지를 판별하면 된다. 이는 Convex hull을 구하기 위한 Graham scan 알고리즘에서 두 벡터가 시계인지 반시계인지를 구할 때 활용된다.

만약 면적이 양수 음수인지는 중요하지 않고 면적의 크기만을 구하고 싶다면 외적의 크기 공식을 사용하면 된다.
|v X w| = |v| |w| sin 세타
그런데 잘 살펴보면 이 공식은 삼각형의 면적을 구하는 공식에 2를 곱해준 것에 불과하다는 것을 알 수 있다. 2차원 벡터들의 외적이 두 벡터가 이루는 사각형의 면적을 구하는 공식이 되는 이유도 이 때문이다.