[Mathematics] 20. Quaternion을 이용한 정점 회전

사원수를 이용해 정점을 회전시켜보자.

 

결론부터 정리하면, 어떤 정점이자 벡터 p를 사원수 q를 이용해 회전시켜 얻은 정점 p'은

q*p*q^-1 이다.

 

p는 벡터p를 포함하는 사원수로, 스칼라부의 값은 0이다.

q는 회전을 나타내는 사원수로,

어떤 벡터 n에 대해 각 세타만큼 회전시킨 것을 사원수로 나타내는 법을 예전 포스트에서 다뤘었다.

이렇게 곱해서 얻은 p'의 벡터부가 우리가 얻고자 하는 정점이다.

p' = q*p*q^-1이 도출되는 과정은 길고 복잡해 본 포스트에서 다루지 않지만,
직관적으로 이해하려면
q 또는 q^-1을 곱해주는 행위는 3차원에서 n에 대해 세타/2만큼 회전시키므로 이 회전을 두번 해주면 원하는 각만큼 회전이 된다고 생각하면 된다. 또 사원수를 곱해주는 것은 사차원에서의 회전도 이루어지는데, 이때 q를 한번 곱하고 q^-1을 우측에서 한번 더 곱해주는 것으로 이 사차원에서의 회전을 상쇄시켜서(+-1) 원래 원하는 회전만큼을 얻는다고 이해하면 된다.

const Vector Quaternion::operator*(const Vector& V) const
{
	Quaternion p;
	p.w = 0;
	p.v = V;

	// 이렇게 작성해도 동작함:
	/*
	const Quaternion& q = (*this);
	return (q * p * q.Inverted()).v;
	*/

	// 최적화한 버전(로드리게즈 공식을 이용해 도출 가능)
	Vector vcV = v.Cross(V);
	return V + vcV*(2*w) + v.Cross(vcV)*2;
}

함수로 표현하면 위와 같다. (입력 V는 정점을 나타낸다)

위 함수에서는 qpq^-1을 보다 최적화시킨 것을 볼 수 있다. 최적화 과정 역시 상당히 복잡하므로 다루지 않지만, 예전 포스트에서 사용한 Rodriguez formula를 이용하면 도출이 가능하다.

 

위 함수를 이용해 사원수 * 정점(벡터) 를 해주는 것으로 정점을 간단히 회전시킬 수 있다.

이 때 사원수의 곱은 행렬곱과 유사하게 A * B * x일때 (B*x)가 먼저 진행된다는 점에 유의해야 한다.

 

https://youtu.be/Ne3RNhEVSIE?list=PLW3Zl3wyJwWOpdhYedlD-yCB7WQoHf-My 

(자세한 내용을 위해서는 3D Math Primer For Graphics And Game Development 참고)