[Mathematics] 19. Quaternion Multiplication

앞선 포스트에서 하나의 사원수로 여러 축에 대한 회전들의 결과를 한 번에 나타낼 수 있다는 것을 언급했다.

두 사원수는 서로 곱해 하나의 사원수로 나타낼 수 있는데, 이는 기하학적으로 두 회전운동의 결과를 하나의 회전운동으로 나타내는 것으로 이해하면 된다. 즉 여러 회전들을 우리는 서로 곱해 하나의 사원수로 나타낼 수 있다.

 

<공식화>

사원수를 곱하는 공식은 위와 같다.

 

한 번 공식을 사용해보자.

두 개의 axis-rotation r과 s가 있다고 하자. 이는 각각 사원수 하나씩으로 나타낼 수 있다.

r : 벡터 vr을 기준으로 시계 방향으로 wr만큼 회전

s : 벡터 vs를 기준으로 시계 방향으로 ws만큼 회전

 

r과 s를 합친 q는 다음과 같다.

q = rs = [ w, v ]

w = ws*wr - vs*vr

   = ws*wr - 내적(vs ,vr)

 

v = ws*vr + wr*vs + vr x vs

   = ws*vr + wr*vs + 외적(vr, vs)

 

q = [ ws*wr - 내적(vs ,vr), 

      ws*vr + wr*vs + 외적(vr, vs) ]

 

 

공식이 도출되는 과정은 아래 자료들을 참고

 

const Quaternion Quaternion::operator*(const Quaternion& q) const
{
	Quaternion r;

	r.w = w*q.w + v.Dot(q.v);
	r.v = v*q.w + q.v*w + v.Cross(q.v);

	return r;
}

사원수 곱을 함수로 나타내면 위와 같다.

 

 

* 참고1: v1 x v2 != v2 x v1이므로 외적이 들어가는 위 공식도 마찬가지로 rs != sr이다.

* 참고2: 위 식을 통해 얻은 사원수 q도 결국 [w, v]꼴 인것을 알 수 있는데, 이를 다르게 말하면, r과 s의 두 회전을 합쳐 어떤 축 v에 대해 w만큼 회전시키는 하나의 회전으로 합쳐내었다고 생각할 수 있다.

* 참고할 만한 글

http://dolphin.ivyro.net/file/dreamwiz/shadow/quaternion.html

https://ko.wikipedia.org/wiki/사원수

* 참고영상

https://www.youtube.com/watch?v=CRiR2eY5R_s&list=PLW3Zl3wyJwWOpdhYedlD-yCB7WQoHf-My&index=33 

https://www.youtube.com/watch?v=d4EgbgTm0Bg