[Mathematics] 17. Axis-Angle Rotation (Rodrigues formula)

Axis-angle rotation, 혹은 Rodrigues formula란,

축과 각이 주어졌을 때 어떤 벡터를 해당 축에 대해 해당 각만큼 회전시킨 벡터를 구하는 과정이다.

 

v를 n을 기준축으로 시계 방향으로 세타만큼 회전시킨 v'을 구하는 과정을 살펴보자.

(축 n은 단위벡터라고 가정한다. 단위벡터가 아닐 경우 그냥 단위벡터로 만들어주면 된다)

v를 n에 정사영 내려 p를 구할 수 있고,

v - p = e이므로 e도 구할 수 있다.

 

v' = p + e'인데,

e'은 f와 e를 축으로 하는 평면에 대해 e를 세타만큼 반시계 방향으로 회전시킨 벡터이다.

이는 우리가 구할 수 있는 값이다.

f를 y축, e를 x로 두고 생각하자. 위 그림에선 세타가 둔각이지만 이해를 돕기위해 세타가 예각이라고 해보자.

그랬을 때 우리는 e'의 x축, y축 좌표를 구할 수 있다. (정확히는 e와 f와 같은 방향인 벡터 두개로 나타냈을 때 각 벡터의 길이)

|e'| cos세타 = x좌표 = e 방향 벡터 A의 크기

|e'| sin세타 = y좌표 = f 방향 벡터 B의 크기

 

이때 A벡터와 B벡터의 합은 e'이므로 이렇게 얻은 길이에 e방향 단위벡터, 그리고 f방향 단위벡터를 곱해주면 A벡터와 B벡터를 구할 수 있다. 

따라서

A = |e'| cos세타 * (단위벡터)

= |e'| cos세타 * (e / |e|)

이때 |e'| = |e|이므로

A = e cos 세타

 

마찬가지로 B = f sin 세타

 

고로 e' = A + b = e cos 세타 + f sin 세타

라는 식을 구할 수 있다.

 

이제 e'을 처음 우리가 알던 두 벡터인 v, n과 세타로만 나타내보자.

e = v - p = v - (v*n)n 이고

f = v x n (이전 글 참고) 이므로

 

식을 정리하면 최종적으로

e' = v cos 세타 + (v*n)n (1 - cos 세타) + (n x v)sin 세타

라는 일반식을 도출할 수 있다.

 

참고:

 

I drew a picture to help myself understand it better and WHY e' = e cos theta + f sin theta. Here it is: http://i.imgur.com/ukJnVX4.jpg Imagine that the p vector from the video there is going from your eye towards the computer screen and points at the origin of the two axes drawn at the picture. (I made the angle theta smaller than in the actual video just so that it is easier to understand, because in reality it is actually rotating counterclockwise, not clockwise as it was depicted in the video, and the angle is more than 90 degrees and it could get confusing in the explanation. Also I realized it too late that f should actually be pointing down, not up, but again, same concept, just for simplicity) The way I like to think about it is, if you have the unit circle on an x and y axis, you can determine a point on the unit circle by plotting (cos theta, sin theta) just like in the euler angles and matrices videos. So see how I drew the f-vector along the Y-axis (red vector), and the e-vector along the X-axis (green, but hard to see because I drew with black on top of it, so there's only a tip of e peeking from below the black line in the picture.). Now the small circle in the middle is the UNIT circle. And if you were to plot the (cos theta, sin theta) on the unit circle, that would give you the direction at which e' is going (or the e' hat, or e' unit vector). Basically creating a vector out of the two values will give you: (cos theta + sin theta) = e' unit vector If you wanted the ACTUAL length, not just the unit length, you can simply scale the COS by e's length and the SIN by f's length. Another way to think about it is that you're scaling the vectors f and e down by sin and cos.